ორობითი რიცხვები

თვლა ორობით რიცხვებში ემყარება იმავე პრინციპს, რასაც ნებისმიერი სხვა თვლის სისტემა

გვთავაზობს. ათვლა იწყება ციფრიდან 0 და ყოველი შემდეგი რიცხვი მიიღება ინკრემენტაციის

(საფეხურებრივი ზრდის) გზით. კერძოდ, თუ ორობითი რიცხვის ყველა პოზიციაზე 1-ანებია,

მაშინ ეს უკანასკნელები 0-ებად იქცევიან და მარცხნიდან ემატება 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია,

წინააღმდეგ შემთხვევაში მარჯვენა განაპირა პოზიციიდან მოყოლებული ყველა 0

თანმიმდევრობით იქცევა 1-ად:

0 – შემდეგ საფეხურზე ეს 0 გადაიქცევა 1-ად 1 – რადგანაც ყველა პოზიციაზე 1-ანია, შემდეგ საფეხურზე იგი გადაიქცევა 0-ად და მარცხნიდან 1- ის ტოლი ახალი პოზიცია დაემატება

10 – პირველ პოზიციაზე 1-ანია, მეორეზე – 0, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე ეს უკანასკნელი

გადაიქცევა 1-ად, ხოლო პირველი პოზიცია უცვლელი დარჩება 11 – ორივე პოზიციაზე 1-ანებია, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე ისინი 0-ებად იქცევა და მარცხნიდან 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია დაემატება 100 – პირველ პოზიციაზე 1-ანია, მეორეზე და მესამეზე – 0-ები, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე მარჯვენა განაპირა 0 გადაიქცევა 1-ად, ხოლო მეორე პოზიცია უცვლელი დარჩება 101 – შემდეგ საფეხურზე მეორე პოზიციის ჯერი დგება და ის გადაიქცევა 1-ად

111 – სამივე პოზიციაზე 1-ანებია, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე ისინი 0-ებად იქცევა და  მარცხნიდან. 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია დაემატება 1000 – პირველ პოზიციაზე 1-ანია, დანარჩენებზე – 0-ები, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე მარჯვენა განაპირა 0 გადაიქცევა 1-ად 1001 – … … – ..

ორობითი რიცხვის გარდაქმნა ათობითში და პირიქით თუ კარგად დავაკვირდებით, ნებისმიერი ათობითი რიცხვი შეიძლება წარმოადგენდეს ამ რიცხვის შემადგენელი ციფრების 10-ის ხარისხებზე ნამრავლთა ჯამის მეშვეობით, მაგალითად,

რიცხვი 4516 დაიშლება შემდეგნაირად:

4516 = 4·103 + 5·102 + 1·101 + 6·100

ანუ, 10-ის ხარისხი ემთხვევა რიცხვში ციფრის პოზიციის ნომერს ‘მინუს’ 1. ანალოგიური

პრინციპი მოქმედებს ორობითი რიცხვების გარდაქმნისას ათობითში, მხოლოდ ამ შემთხვევაში

ფუძე 2-ის ტოლია. მაგალითად, ორობითი რიცხვი 1101012 წარმოდგინდება თვლის ათობით

სისტემაში შემდეგნაირად (ინდექსი 2 მიუთითებს რიცხვის ორობით სახეს):

1101012 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 5310

ათობითი რიცხვის გარდასაქმნელად ორობითში, საჭიროა ეს რიცხვი მთელად გავყოთ 2-ზე და

მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლო პოზიციაზე, შემდეგ განაყოფი გავყოთ მთელად 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლოსწინა პოზიციაზე, და ა.შ. მანამ, სანამ განაყოფს არ მივიღებთ 0-ის ტოლს:

53 : 2 = 26 ნაშთი: 1

26 : 2 = 13 ნაშთი: 0

13 : 2 = 6 ნაშთი: 1

6 : 2 = 3 ნაშთი: 0

3 : 2 = 1 ნაშთი: 1

1 : 2 = 0 ნაშთი: 1

მივიღეთ ნაშთების შემდეგი მიმდევრობა : 1 0 1 0 1 1. თუ ამ მიმდევრობას განვალაგებთ მისაღები ორობითი რიცხვის პოზიციებზე ბოლოდან, მივიღებთ: 1101012

არითმეტიკა ორობით რიცხვებში შეკრება ეს ოპერაცია უმარტივესია ორობით არითმეტიკაში. იგი ეყრდნობა 4 ძირითად ტოლობას:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით შევკრიბოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად)

ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 011012 და 101112:

1 1 1 1 1 (<- ვიმახსოვრებთ)

0 1 1 0 1

+ 1 0 1 1 1

——————

1 0 0 1 0 0 (<- შედეგი)

გამოკლება

ძირითადი ტოლობებია:

0 − 0 = 0

0 − 1 = 1 (ვიმახსოვრებთ (-1)-ს)

1 − 0 = 1

1 − 1 = 0

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გამოვაკლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად)

ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 11011102 და 101112:

-1 -1 -1 -1 (<- ვიმახსოვრებთ)

1 1 0 1 1 1 0

– 1 0 1 1 1

———————–

1 0 1 0 1 1 1

გამრავლება

ძირითადი ტოლობებია:

0 • 0 = 0

0 • 1 = 0

1 • 0 = 0

1 • 1 = 1

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გავამრავლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად)

ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 10112 და 10102:

1 0 1 1

× 1 0 1 0

—————

0 0 0 0

+ 1 0 1 1

+ 0 0 0 0

+ 1 0 1 1

——————

1 1 0 1 1 1 0

გაყოფა

გაყოფა ორობით რიცხვებში ანალოგიურია გაყოფისა ათობით რიცხვებში. მაგალითად, გავყოთ

110112 (=2710) 1012 (=510) -ზე:

1 1 0 1 1 : 1 0 1 = 1 0 1

− 1 0 1

——–

0 1 1

− 0 0 0

——-

1 1 1

− 1 0 1

——-

1 0

როგორც ვხედავთ, გაყოფის პროცესი წარიმართა შემდეგნაირად: გასაყოფის პირველ სამ ციფრში 101 მოთავსდა ერთხელ, ნაშთი – 1. შემდეგ ჩამოვიტანეთ 1 გასაყოფიდან, მიღებულ რიცხვში 101 მოთავსდა 0-ჯერ, ნაშთი 11. კვლავ ჩამოვიტანეთ 1 და ამჯერად მასში 101 მოთავსდა ერთხელ. რამდენადაც გასაყოფიდან ჩამოსატანი ციფრები ამოიწურა, გაყოფას ვწყვეტთ.

შედეგი შემდეგი სახისაა: განაყოფში მივიღეთ 101, ხოლო ნაშთში – 10.

მართლაც, თუ ზემოხსენებულ ყველა ორობით რიცხვს გადავიყვანთ ათობითში, დავრწმუნდებით, რომ 2710 : 510 = 510 ნაშთი: 210