მოგესალებით მეგობრებო, დავბრუნდით კალკულუსით.
წინა პოსტებში ვისაუბრე განსხვავებულ ფუნქციებზე და მათ ნაირსახეობებზე, დღეს კი ვისაუბრებთ ლიმიტზე (LIMIT).
მარტივად რომ ვთქვათ ლიმიტი არის ის საზღვარი რომლის მიღწევაც შეუძლებელი და ხშირ შემთხვევაში აკრძალულიც კი არის. მაგალითად, მრავალკუთხედის „ოცნება“ – კუთხეების რაოდენობის გაორმაგებით, გახდეს წრეწირი, შეუძლებელია რომ განხორციელდეს, თუმცა რაც უფრო იზრდება კუთხეების რაოდენობა მით უფრო უახლოვდება მრავალკუთხედი წრეწირს.
განვიხილოთ კონკრეტულ მაგალითზე, ავიღოთ ჩვენთვის უკვე კარგად ცნობილი ფუნქცია y=x^2 და მისი გრაფიკული გამოსახულება და აღვნიშნოთ ერთ-ერთი წერტილი საკოორდინატო სიბრტყეზე, ვთქვათ (x, x^2) (იხ. სურათი 1).
სურ.1
გავალოთ მხები ამ წერტილზე, და შევეცადოთ ვიპოვოთ მისი განტოლება(y=mx+k სადაც m-არის წანაცვლება(slope), ხოლო k კი თავისუფალი წევრია).
მხების განტოლების გასაგებად, ავიღოთ რაიმე წერტილი (x+h, (x+h)^2) და გავავლოთ ქორდა (secant) ამ წერტილსა და (x, x^2)-ს შორის (იხ. სურათი 2).
სურ.2
წანაცვლება x-ში იქნება – h, ხოლო წანაცვლება y-ში იქნება (x+h)^2 – x^2; ვნახოთ რა მოხდება თუ ჩვენ გადავწყვიტავთ რომ h ნელნელა შემცირდეს, და განაგრძოს შემცირება სანამ უფრო და უფრო არ მიუახლოვდება 0-ს (იხ. სურათი 3 და 4).
სურ.3
სურ.4
როგორც სურათებიდან ჩანს, ნელნელა მცირდება h-ის მნიშვნელობა, რაც იმას ნიშნავს რომ რაც უფრო პატარაა h-ი მით უფრო უახლოვდება ქორდა, მხებს. ინტუიცურად თუ მივუდგებით, მაშინ ნათელია, რომ როცა ქორდა და მხები ძალიან ძალიან ახლოს იქნებიან ერთმანეთთან, მაშინ მათი განტოლებები ძალიან დაემგვანება ერთმანეთს, ხოლო თუ წარმოვიდგენთ რომ ისინი გაერთიანდნენ, ანუ h გახდა 0, მაშინ მათი განტოლებები ერთნაირი იქნება.
განვიხილოთ ეს ყველაფერი მათემატიკურად და ვნახოთ თუ რა მნიშვნელობა ექნება მხების განტოლებაში წანაცვლებას (slope), იხ. სურათი 5.
სურ.5
როგორც სურათიდან ჩანს მარტივი მათემატიკური გამოთვლების შემდეგ ცხადია, რომ რაც უფრო უახლოვდება h-ი ნულს მით უფრო უახლოვდება მხების წანაცვლება (slope) 2x.
სწორედ მსგავს შემთხვევებში გვეხმარება ლიმიტები, როდესაც ისეთი ქცევა გვინდა ჩავატაროთ როგორიცაა 0-ზე გაყოფა, ან უსასრულობაში წასვლა და ა.შ.
ჩემი რეკომენდაცია იქნება რომ რამდენჯერმე წაიკითხოთ პოსტი და სანამ კარგად არ გაიგებთ არ დანებდეთ, უმარტივესია და ყველა ძალიან კარგად აითვისებთ ამ თემას, იმედი მაქვს დაგეხმარეთ, კითხვები დაწერეთ კომენტარებში და თავად ვუპასუხებ შეძლებისდაგვარად.
მომდევნო პოსტამდე.
